The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__fst(0, Z) → nil
a__fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(mark(Y), fst(X, Z))
a__from(X) → cons(mark(X), from(s(X)))
a__add(0, X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__len(nil) → 0
a__len(cons(X, Z)) → s(len(Z))
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
mark(fst(from(X28913_3), X2)) →⁺ a__fst(cons(mark(mark(X28913_3)), from(s(mark(X28913_3)))), mark(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [X28913_3 / fst(from(X28913_3), X2)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(fst(from(X28913_3), X2)) →⁺ a__fst(cons(mark(mark(X28913_3)), from(s(mark(X28913_3)))), mark(X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,1,0,0].
The pumping substitution is [X28913_3 / fst(from(X28913_3), X2)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__fst(0', Z) → nil
a__fst(s(X), cons(Y, Z)) → cons(mark(Y), fst(X, Z))
a__from(X) → cons(mark(X), from(s(X)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(add(X, Y))
a__len(nil) → 0'
a__len(cons(X, Z)) → s(len(Z))
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(X)
mark(nil) → nil
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
s/0
cons/1

(6) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__fst(0', Z) → nil
a__fst(s, cons(Y)) → cons(mark(Y))
a__from(X) → cons(mark(X))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s, Y) → s
a__len(nil) → 0'
a__len(cons(X)) → s
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(s) → s
mark(nil) → nil
mark(cons(X1)) → cons(mark(X1))
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fst(0', Z) → nil
a__fst(s, cons(Y)) → cons(mark(Y))
a__from(X) → cons(mark(X))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s, Y) → s
a__len(nil) → 0'
a__len(cons(X)) → s
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(s) → s
mark(nil) → nil
mark(cons(X1)) → cons(mark(X1))
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

Types:
a__fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
0' :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
nil :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
s :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
cons :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
mark :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
hole_0':nil:s:cons:fst:from:add:len1_0 :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0 :: Nat → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
mark, a__from

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__from

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fst(0', Z) → nil
a__fst(s, cons(Y)) → cons(mark(Y))
a__from(X) → cons(mark(X))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s, Y) → s
a__len(nil) → 0'
a__len(cons(X)) → s
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(s) → s
mark(nil) → nil
mark(cons(X1)) → cons(mark(X1))
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

Types:
a__fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
0' :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
nil :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
s :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
cons :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
mark :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
hole_0':nil:s:cons:fst:from:add:len1_0 :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0 :: Nat → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len

Generator Equations:
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__from, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__from

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__from.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fst(0', Z) → nil
a__fst(s, cons(Y)) → cons(mark(Y))
a__from(X) → cons(mark(X))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s, Y) → s
a__len(nil) → 0'
a__len(cons(X)) → s
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(s) → s
mark(nil) → nil
mark(cons(X1)) → cons(mark(X1))
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

Types:
a__fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
0' :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
nil :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
s :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
cons :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
mark :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
hole_0':nil:s:cons:fst:from:add:len1_0 :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0 :: Nat → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len

Generator Equations:
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__from

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0)) → gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0), rt ∈ Ω(1 + n27184₀)

Induction Base:
mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(+(n27184_0, 1))) →_R^Ω(1)
cons(mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0))) →_IH
cons(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(c27185_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(14) Complex Obligation (BEST)

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fst(0', Z) → nil
a__fst(s, cons(Y)) → cons(mark(Y))
a__from(X) → cons(mark(X))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s, Y) → s
a__len(nil) → 0'
a__len(cons(X)) → s
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(s) → s
mark(nil) → nil
mark(cons(X1)) → cons(mark(X1))
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

Types:
a__fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
0' :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
nil :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
s :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
cons :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
mark :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
hole_0':nil:s:cons:fst:from:add:len1_0 :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0 :: Nat → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len

Lemmas:
mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0)) → gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0), rt ∈ Ω(1 + n27184₀)

Generator Equations:
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__from

They will be analysed ascendingly in the following order:
mark = a__from

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__from.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fst(0', Z) → nil
a__fst(s, cons(Y)) → cons(mark(Y))
a__from(X) → cons(mark(X))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s, Y) → s
a__len(nil) → 0'
a__len(cons(X)) → s
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(s) → s
mark(nil) → nil
mark(cons(X1)) → cons(mark(X1))
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

Types:
a__fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
0' :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
nil :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
s :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
cons :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
mark :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
hole_0':nil:s:cons:fst:from:add:len1_0 :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0 :: Nat → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len

Lemmas:
mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0)) → gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0), rt ∈ Ω(1 + n27184₀)

Generator Equations:
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(18) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0)) → gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0), rt ∈ Ω(1 + n27184₀)

(19) BOUNDS(n^1, INF)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fst(0', Z) → nil
a__fst(s, cons(Y)) → cons(mark(Y))
a__from(X) → cons(mark(X))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s, Y) → s
a__len(nil) → 0'
a__len(cons(X)) → s
mark(fst(X1, X2)) → a__fst(mark(X1), mark(X2))
mark(from(X)) → a__from(mark(X))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(len(X)) → a__len(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(s) → s
mark(nil) → nil
mark(cons(X1)) → cons(mark(X1))
a__fst(X1, X2) → fst(X1, X2)
a__from(X) → from(X)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)
a__len(X) → len(X)

Types:
a__fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
0' :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
nil :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
s :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
cons :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
mark :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
a__len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
fst :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
from :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
add :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
len :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
hole_0':nil:s:cons:fst:from:add:len1_0 :: 0':nil:s:cons:fst:from:add:len
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0 :: Nat → 0':nil:s:cons:fst:from:add:len

Lemmas:
mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0)) → gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0), rt ∈ Ω(1 + n27184₀)

Generator Equations:
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0)) → gen_0':nil:s:cons:fst:from:add:len2_0(n27184_0), rt ∈ Ω(1 + n27184₀)

(22) BOUNDS(n^1, INF)